矩陣與線性變換

基本概念

矩陣把平面上每個向量送到新位置；基底 $\hat{ı},\hat{ȷ}$ 被送去哪裡，就決定整個線性變換。

互動說明

• 自由變換：拖動矩陣元素 $a,b,c,d$，觀察 $\hat{ı},\hat{ȷ}$ 的像如何拉動整張網格，側欄同步顯示 $\det$ 的絕對值與正負
• 特殊變換：選旋轉、縮放、剪切或反射，用單一參數觀察每一類各自把網格變成什麼形狀
• 變換疊加：調整 A 旋轉角與 B 剪切量，比較兩個變換先後順序不同的結果

建議順序：自由變換 → 特殊變換 → 變換疊加。

觀察重點

• 行列式為零時，平面被壓到直線或點，變換不可逆
• 旋轉矩陣的四個元素分別對應 $\cos \theta$ 與 $\sin \theta$
• 兩個變換的順序一般不可交換，$AB\ne BA$

相關作品

• 特徵向量與伸縮比
• 線性變換網格
• 仿射變換圖樣
• 旋轉縮放疊加
• 碎形仿射疊代

延伸閱讀

• 線性映射（維基百科）
• 行列式（維基百科）