特徵向量與伸縮比

參數方程

設 $2\times 2$ 矩陣 $A$。非零向量 $\mathbf{v}\ne 0$ 若滿足

則 $\mathbf{v}$ 為特徵向量，$\lambda$ 為對應特徵值。幾何上，$\mathbf{v}$ 所在的過原點直線在變換後仍映到自身，只發生伸縮、反向或壓扁。

若 $\lambda >0$，同向伸縮、長度變為 $|\lambda |$ 倍；若 $\lambda <0$，反向伸縮；若 $\lambda =0$，該方向被壓縮到原點，可視為完全壓扁。當特徵值為複數或無實特徵向量時，平面上找不到這樣的過原點直線。

互動說明

• 矩陣預設：切換伸縮、旋轉、剪切、反射、鞍點、純量矩陣等典型 $A$，觀察特徵方向與網格變形
• 一般向量 $\mathbf{u}$：拖動 $\mathbf{u}$，觀察其方向在變換後偏轉，與落在特徵直線上的向量對照
• 進階模式：可調矩陣元素 $a,b,c,d$、顯示完整特徵值計算與更多預設；預設畫面不顯示元素滑桿

觀察重點

• 特徵向量描述「變換後仍落在同一條過原點直線上」的方向；若 $\lambda >0$ 則同向伸縮，若 $\lambda <0$ 則反向伸縮，若 $\lambda =0$ 則壓縮到原點。
• 若有兩個不同的實特徵值，通常會出現兩條特徵方向；重根時可能只有一條，也可能每個方向都是特徵方向。
• 純旋轉（$\theta \ne k\pi$）在實平面上沒有方向不變的非零向量；這與「旋轉會改變所有方向」一致。

相關作品

• 線性變換網格
• 旋轉縮放疊加
• 矩陣與線性變換

延伸閱讀

• 特徵值與特徵向量（維基百科）
• 線性映射（維基百科）