線性變換網格

代數線性代數

參數方程

線性變換將直角座標平面上的點 P(x,y)P(x,y) 映射到 P′(x′,y′)P'(x',y')：

[x′y′]=[abcd][xy]\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} x′=a⋅x+b⋅y,y′=c⋅x+d⋅yx' = a \cdot x + b \cdot y,\quad y' = c \cdot x + d \cdot y

本實驗中 b（X 軸剪切） 控制垂直線往水平方向傾斜；d（Y 軸伸縮） 控制網格在垂直方向的拉伸或壓縮。隨時間 tt 推進，aa 亦隨 sin⁡(ωt)\sin(\omega t) 微幅振盪，使網格持續展開或收攏，同時保持線性變換的核心性質：直線仍映射為直線，原點不動。

實作要點

  • 矩陣直接映射：以二維線性公式即時計算每條網格線端點，不依賴外部向量函式庫
  • 網格生長：網格線從原點向四向對稱展開，逐步填滿畫面（reveal）
  • 切換重置：調整 bb 或 dd 時重置 reveal，重新觸發由軸心向外的生長動畫
  • 變形過渡：拖動滑桿時以 lerp（係數 0.08）平滑過渡剪切與伸縮
  • 動態邊界：依變換後四角包圍盒自動縮放，使變形網格始終落在可視區內

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