仿射變換圖樣

代數線性代數

參數方程

仿射變換在線性部分之外允許平移，讓圖形可移動並自我複製：

[x′y′]=[abcd][xy]+[txty]\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} x′=(scos⁡θ) x−(ssin⁡θ) y+tx,y′=(ssin⁡θ) x+(scos⁡θ) y+tyx' = (s \cos\theta)\,x - (s \sin\theta)\,y + t_x,\quad y' = (s \sin\theta)\,x + (s \cos\theta)\,y + t_y

θ 為旋轉角度；s 隨時間微幅呼吸（約 0.72 ± 0.03）；tx,tyt_x, t_y 為平移向量，其模長與 reveal 進度綁定，使圖樣由中央母圖形向四方逐步分裂生長。對基礎正方形施加同一仿射映射，並在四個方向各疊一層縮放平移（倍率 0.5）的第二層，形成對稱繁衍圖案。

實作要點

  • 迭代座標運算：直接對每層頂點套用仿射公式，不做圖形嵌套
  • 生長擴散：平移距離 × reveal，子圖形由內向外逐步出現
  • 切換重置：調整 θ 或平移距離 e 時重置 reveal
  • 平滑過渡：θ、e 以 lerp（0.08）連續變形；時間軸驅動旋轉呼吸與縮放呼吸

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延伸閱讀

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