旋轉與鏡射矩陣

題意

用 $A$、$B$ 表示繞原點順、逆時針旋轉 $90°$，再用 $C$、$D$ 表示對直線 $x=y$、$x=-y$ 的鏡射。題目要求從點的像、負矩陣、反矩陣與合成關係中找出正確敘述。

完整題目與選項見大考中心 112 學測數學 A 試卷。

為什麼會錯

解析資料把這題列為中偏易，測驗目標是旋轉矩陣與鏡射矩陣的性質；真正容易混淆的不是繁複計算， 而是把「順時針／逆時針」的符號、鏡射軸方向，以及乘積中先做的變換寫在右邊這三件事同時弄對。 只背矩陣外形，常會把 $C^{-1}$ 誤認成另一個鏡射，或直覺認為所有變換都能交換。

觀念

以原點為中心、逆時針旋轉 $\theta$ 的變換矩陣為

因此

兩個鏡射矩陣為

鏡射做兩次會回到原位，所以 $C^{-1}=C$、$D^{-1}=D$。矩陣乘積中先做的變換寫在右邊； 直接相乘可得

兩個旋轉在這裡可以交換；旋轉與鏡射通常不行。判斷時應逐一看幾何作用或實際相乘， 不能把「矩陣乘法通常不可交換」套成每一組都不相等。

互動怎麼看

• 每個乘積都分兩段演出；例如 $AC$ 會先做 $C$，再做 $A$。
• 兩個旋轉：比較 $AB$ 與 $BA$，確認兩邊都回到原位。
• 旋轉與鏡射：比較 $AC$ 與 $CA$，觀察相同兩個變換換順序後如何分岔。
• AB 與 CD：一邊是不變變換，另一邊是旋轉 $180°$。
• AC 與 BD：兩組不同合成都落在同一個對 $x$ 軸鏡射。