二次曲線的幾何動態軌跡

基本概念

平面上到焦點 $F$ 與準線 $d$ 的距離比為常數：

離心率 $e$ 統一定義橢圓、拋物線與雙曲線；圓可視為 $e\to 0$ 的極限情形。

互動說明

• 離心率 e：連續調整 $e$，觀察 $e\to 0$（圓的極限）→ $e<1$（橢圓）→ $e=1$（拋物線）→ $e>1$（雙曲線）
• 焦點—準線：同時顯示焦點、準線與動點 $P$，驗證距離比恆為 $e$

建議順序：小 $e$ 的近圓橢圓 → $e=1$ 臨界 → $e>1$ 雙曲兩支分離。

觀察重點

• $e$ 愈大，曲線愈「開」；橢圓愈扁，雙曲線兩支愈分離
• 橢圓有兩焦點（$c=ae$），拋物線一焦點一準線，雙曲線兩焦點在開口內側，配置各不相同
• $e=1$ 是閉合橢圓與兩支雙曲線之間的臨界，拋物線為過渡狀態

相關作品

• 二次曲線包絡線
• 焦點軌跡
• 拋物線反射

延伸閱讀

• 圓錐曲線（維基百科）
• 離心率（維基百科）