三個同心圓上的正三角形

題意

平面上有三個同心圓，半徑分別是 1、2、3。一個正三角形的三個頂點各落在其中一個圓上（每個圓恰好一個頂點）。求這個正三角形邊長的平方 $s^2$。（五選一）

完整題目與選項見 AoPS 題目頁。

為什麼會錯

直覺的做法是設三個頂點的角度，列出「三邊相等」的方程。未知數多、又夾著三角函數，很容易算到一半就卡住。

另一個陷阱是先假設圖形「看起來對稱」：例如讓三個頂點與圓心的連線互成 $120^{\circ }$。用餘弦定理算三邊平方，分別是 $1+4+2=7$、$4+9+6=19$、$9+1+3=13$，根本不是正三角形；其中一邊恰好是 7，更容易讓人誤以為找對了。

真正要說明的是 $s$ 為什麼只有一個值；下面的旋轉論證同時說明了存在與唯一。

觀念

正三角形 $ABC$ 中，$C$ 是 $B$ 繞 $A$ 旋轉 $60^{\circ }$ 的像。$B$ 在半徑 2 的圓上，所以 $C$ 一定落在「半徑 2 的圓繞 $A$ 轉 $60^{\circ }$」的像圓上。

像圓的圓心 $O^{\prime }$ 是圓心 $O$ 繞 $A$ 轉 $60^{\circ }$ 的像：$|A{O}^{\prime }|=|AO|=1$、$\angle OA{O}^{\prime }=60^{\circ }$，所以 $△OA{O}^{\prime }$ 是正三角形，$|O{O}^{\prime }|=1$。

像圓半徑 2、圓心離 $O$ 為 1，而 $3-2=1$：它與半徑 3 的圓內切，只有一個交點。這個切點就是 $C$，且 $O$、$O^{\prime }$、$C$ 共線、$|OC|=3$。

取 $A=(1,0)$，則 $O^{\prime }=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$C=3O^{\prime }=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$：

選 (E)。往另一個方向轉，得到的是鏡像，邊長相同。

互動怎麼看

• 按「播放旋轉 60°」：金色虛線圓是半徑 2 的圓繞 $A$ 旋轉的像；轉到 $60^{\circ }$ 時，它恰好碰到最外圈，而且只碰一點。
• 拖曳 $A$ 沿小圓移動：不論 $A$ 在哪，$|O{O}^{\prime }|$ 都停在 1，像圓都與大圓內切，讀數 $s^2$ 始終是 7。
• 拖曳試探點 $B$：它的像 $C^{\prime }$ 在金色像圓上滑動，$|O{C}^{\prime }|$ 只有在切點才等於 3；按「把 B 對到唯一解」直接跳到那個位置。