相同列運算的線性組合

題意

兩個聯立方程組有相同的係數 $a,b,c,d$，只有等號右側不同。題目給出兩個增廣矩陣經過 同一串列運算後的結果，要求找出右側改成 $(0,1)$ 時的解。完整數值與作答格式見 大考中心 113 分科測驗數學甲試卷。

為什麼會錯

大考中心的試題特色分析 記錄本題得分率為 $42\%$、鑑別度為 $0.68$。容易卡住的地方，是只把列運算看成一串機械計算， 沒有注意到「同一串」列運算會讓右側常數保留原本的倍數與相加關係。若先反求 $a,b,c,d$ 也能作答，但會多解兩組聯立方程式。

觀念

把兩個已知方程組的右側記成

目標右側可直接寫成

已知兩組增廣矩陣經過相同列運算後，右側分別變成 $(3,2)$ 與 $(2,-1)$。 相同的倍數與相加關係仍成立，因此目標右側經列運算後是

所以最後的增廣矩陣代表

答案為 $x=-7$、$y=0$。

互動怎麼看

• 調整組合係數 $\alpha$、$\beta$，比較原常數、列運算後常數與解如何同步改變。
• 按下「回到原題」，確認 $\alpha =-1$、$\beta =-2$ 時，原常數正好是 $(0,1)$。
• 觀察中間的增廣矩陣；第二列先讀出 $y$，再由第一列的 $x-y$ 求出 $x$。