平面法向量與點面距離

參數方程

法向量 $\mathbf{n}=(a,b,c)\ne 0$、過點 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的平面：

展開為一般式 $ax+by+cz=h$，其中 $h=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$。點 $P_1(x_1,y_1,z_1)$ 到平面的距離：

$(a,b,c,h)$ 同乘非零常數不改變平面，只改變方程式的尺度。

互動說明

• 平面傾角：旋轉法向 $\hat{\mathbf{n}}$，觀察平面跟著轉，係數 $(a,b,c)$ 同步更新
• 平面位移 h：平移平面，觀察垂足沿法向滑動，距離隨之改變
• 測試點高度：移動 $P_1$，比較帶號距離的正負如何標出它在法向的哪一側
• 方程尺度 k：同乘非零常數，觀察係數整組改變，但平面、垂足與距離都不動
• 拖動畫面旋轉視角：旋轉場景，確認垂線段確實垂直於平面；也可改用視角水平與視角仰角滑桿

觀察重點

• 法向量垂直於平面內所有位移；$(a,b,c,h)$ 同乘非零常數不改變平面，只改變方程式的尺度。
• $h=a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0$ 把「過哪一點」編碼進方程式；改變 $P_0$ 會平移平面。
• 點面距離是內積幾何的直接應用；與〈平面向量〉中投影與法向讀法在空間中的延伸一致。

相關作品

• 空間向量與三平面投影
• 空間直線與平面交點
• 內積的幾何意義
• 空間向量與平面直線

延伸閱讀

• 平面（維基百科）
• 法向量（維基百科）