內積的幾何意義

參數方程

內積 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=u_x{v}_x+u_y{v}_y$ 幾何上等於 $|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos \theta$。正負號反映夾角銳鈍。兩支都不是零向量時，內積為零表示垂直。力沿位移的功 $W=\mathbf{F}\cdot \mathbf{d}$ 是同一結構的物理實例。

投影長度（$\mathbf{v}\ne 0$）：

互動說明

• 內積 u · v：拖動兩支向量，觀察 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}$ 隨夾角改變的正負與大小
• 夾角 θ：標示 $\theta$ 與 $\cos \theta$；$\mathbf{u}\perp \mathbf{v}$ 時內積為零並高亮
• 投影 proj：把 $\mathbf{u}$ 投影到 $\mathbf{v}$ 方向，對照投影長與內積的關係
• 功 W = F · d：切換成力與位移，觀察同一個式子在物理情境下的意義

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延伸閱讀

• 數量積（維基百科）