平面截坐標面的平行線距離

題意

空間中有一平面，分別與 $x=0$、$z=0$ 交於直線 $L_1$、$L_2$。已知 $L_1\parallel L_2$，且 $L_1$ 通過 $(0,2,-11)$、$L_2$ 通過 $(8,21,0)$，求兩線距離（化成最簡根式）。

完整題目見大考中心 114 分科數學甲試卷。

為什麼會錯

容易把兩條交線當成歪斜線硬套公式，或先假設一般平面方程卻在平行條件上算錯。關鍵其實是：一條線躺在 $x=0$、另一條躺在 $z=0$，又要平行，方向向量幾乎沒有選擇餘地。

觀念

$L_1\subset \{x=0\}$ 的方向向量滿足 $u_x=0$；$L_2\subset \{z=0\}$ 滿足 $u_z=0$。兩者平行所以共用同一個 $\mathbf{u}$，因此

兩平行線的距離等於兩已知點連線在垂直於 $\mathbf{u}$ 的分量長度：把 $y$ 方向扣掉後只剩

（選填對應 $1$、$8$、$5$。）

互動怎麼看

• 藍、紫半透明面分別是 $x=0$、$z=0$；交線就是 $L_1$、$L_2$。
• 金線是共同垂線段，長度固定為 $\sqrt{185}$。
• 拖動畫布或用視角滑桿；確認外觀改變時，平行與距離不變。