正弦定理與餘弦定理

參數方程

任意三角形三邊 $a,b,c$ 所對角為 $A,B,C$。正弦定理

其中 $R$ 為外接圓半徑。餘弦定理

當 $C=90^{\circ }$ 時退化為勾股定理 $c^2=a^2+b^2$。

互動說明

• 正弦定理：標示外接圓與 $2R$，驗證 $a/\sin A$ 等三個比值相等
• 餘弦定理：高亮夾角 $C$ 與三邊，對照 $a^2+b^2-2ab\cos C$ 與 $c^2$ 的數值
• 輔助線：開關高、垂足與外接圓等輔助圖層，比較有無輔助時的可讀性
• 拖動頂點：改變三角形形狀，三邊長與三個角即時更新；拖成鈍角時觀察 $\cos C<0$

觀察重點

• 正弦定理把邊長與對角正弦綁在同一比例；外接圓半徑 $R$ 是這個比例的幾何量
• 餘弦定理是勾股定理加上夾角修正；直角時 $\cos C=0$，式子回到 $c^2=a^2+b^2$
• 已知兩角一邊、三邊、或兩邊夾角時，分別適用正弦定理或餘弦定理求其餘未知量

相關作品

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延伸閱讀

• 正弦定理（維基百科）
• 餘弦定理（維基百科）