燈罩上的最短路徑

題意

燈罩做成正圓台的側面（沒有上下底）：高 $3\sqrt{3}$，上口直徑 6、下口直徑 12。一隻蟲停在下緣某一點，上緣離牠最遠的那一點有蜂蜜。蟲只能在燈罩表面上爬，最短要爬多遠？（五選一）

完整題目與選項見 AoPS 題目頁。

為什麼會錯

最常見的做法是把側面剪開攤平，再把蟲和蜂蜜直接連成直線，算出 $6\sqrt{5}$，而它正好也是選項之一。問題在於展開圖是內半徑 6、外半徑 12 的半圓環：這條直線中段離錐頂只剩 $12/\sqrt{5}\approx 5.37$，小於 6，穿過了內圈以內那塊「被切掉的錐頂」，那裡根本不是燈罩。直線不在紙上，就不能當路徑。

另一個卡點是把立體上的「正對面（差半圈）」直接當成展開圖上差 $180^{\circ }$。扇形角只有 $\pi$，立體上的半圈在展開圖上只對應 $\pi /2$。

觀念

母線長 $\sqrt{(6-3{)}^2+(3\sqrt{3}{)}^2}=6$。補成完整圓錐，錐頂到上緣、下緣分別是 6 與 12（上下半徑比 $3:6$）。側面展開成扇環，扇形角

也就是內半徑 6、外半徑 12 的半圓環。蟲在外緣、蜂蜜在內緣，兩者在展開圖上夾角 $\pi /2$。

直接連線的長度由餘弦定理得 $\sqrt{12^2+6^2}=6\sqrt{5}$，但它離錐頂的最近距離是 $\frac{12\cdot 6}{6\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}<6$，會離開紙面。

合法的最短路徑是：從蟲沿直線走到與內緣相切的點，再沿內緣圓弧走到蜂蜜。切線長 $\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$；切點與蟲的夾角 $a$ 滿足 $\cos a=\frac{6}{12}$，所以 $a=\frac{\pi }{3}$，剩下的弧對應 $\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}$，弧長 $6\cdot \frac{\pi }{6}=\pi$。

選 (E)。

互動怎麼看

• 按「播放展開」：燈罩被剪開、慢慢攤平成半圓環；每個中間狀態都是同一張紙，所以路徑長度不變。
• 在下方展開圖拖動金色把手（或調整接觸角 $a$）：$a=90^{\circ }$ 就是直接連直線，紅色虛線段顯示它掉進內半徑 6 以內；回到立體圖，同一段會飄在燈罩上口之上。
• 把 $a$ 從 $90^{\circ }$ 往下拉：一低於 $60^{\circ }$，路徑就回到紙上；$a=60^{\circ }$ 時直線恰與內緣相切，讀數停在 $6\sqrt{3}+\pi \approx 13.5339$，再往下拉只會變長。