120° 等腰作圖與餘弦定理

題意

一個直角三角形的三邊長分別為 $\sqrt{7}$、$\sqrt{3}$、$2$。在其中兩邊外側各作一個 頂角為 $120^{\circ }$ 的等腰三角形，要求兩個新頂點距離的平方。完整圖形與作答格式見 大考中心 112 分科測驗數學甲試卷。

為什麼會錯

大考中心公布的試題統計 顯示本題得分率為 $29\%$、鑑別度為 $0.59$。第一個陷阱是把 $120^{\circ }$ 當成底角； 其實它是頂角，所以兩個底角都是 $30^{\circ }$。第二個陷阱是漏掉兩個外側底角， 把 $\angle MAN$ 誤寫成原直角三角形在 $A$ 的角。

觀念

令 $\theta =\angle BAC$。由直角三角形可得

頂角為 $120^{\circ }$ 的等腰三角形，底角各為 $30^{\circ }$。用 $30^{\circ }$–$60^{\circ }$–$90^{\circ }$ 三角形的邊長比可得

兩個等腰三角形都作在原三角形外側，因此

用和角公式，

最後在 $△AMN$ 使用餘弦定理：

互動怎麼看

• 拖動頂角 $\phi$，觀察底角如何依 $(180^{\circ }-\phi )÷2$ 同步改變。
• 按下「回到原題」，確認 $\phi =120^{\circ }$ 時兩個底角都是 $30^{\circ }$。
• 對照圖上的 $\angle MAN$ 與右側精確值，確認外側兩個底角都要加進餘弦定理的夾角。