三角函數的幾何定義與恆等式

基本概念

角度 $\theta$ 決定單位圓上的點 $P$；橫座標為 $\cos \theta$，縱座標為 $\sin \theta$，而 $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$（$\cos \theta \ne 0$）。恆等式 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 則來自 $P$ 恆在原點為圓心、半徑為 $1$ 的圓上。

三角函數可依序讀成三種角色：單位圓上的座標、三角形中的邊角關係，以及兩角合成後的代數關係。

互動說明

• 從圓到定義：拖動 $\theta$，觀察 $P(\theta )$ 與 $\sin \theta$、$\cos \theta$、$\tan \theta$ 的同步數值
• 從角到三角形：拖動三角形頂點，觀察邊長、角度與外接圓半徑如何對應正弦定理與餘弦定理
• 從旋轉到公式：拖動 $\alpha$、$\beta$，觀察合成角 $\alpha +\beta$ 與加法定理、倍角的幾何對應

建議順序：單位圓定義 → 解三角形 → 角度合成。

觀察重點

• $\sin \theta$、$\cos \theta$ 先是單位圓上的座標，再延伸成三角形中的邊角比例。
• 正弦定理與餘弦定理把角度資訊轉換成邊長資訊，是三角函數在幾何解題中的主要用途。
• 加法定理與倍角公式描述同一套角度合成；和差化積則在作品〈三角恆等式與角度合成〉中另以 $m$、$d$ 幾何呈現。

相關作品

• 單位圓與三角函數定義
• 正弦定理與餘弦定理
• 三角恆等式與角度合成

延伸閱讀

• 三角函數（維基百科）
• 三角恆等式（維基百科）
• 正弦定理（維基百科）
• 餘弦定理（維基百科）