三角恆等式與角度合成 · 羊·實驗

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調整參數收合參數點開後向下滑動以調整

參數方程

兩角 $α$ 、 $β$ 在單位圓上各對應一個方向。和差化積把兩個函數值的和或差改寫成中點角 $m = \frac{α + β}{2}$ 與偏移 $d = \frac{α - β}{2}$ 的乘積，例如：

sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2}

cos α - cos β = - 2 sin \frac{α + β}{2} sin \frac{α - β}{2}

加法定理 $sin (α + β)$ 、倍角公式 $sin 2 α$ 是同一套角度合成的其他代數讀法；本互動專注於和差化積四式，以及其反向的積化和差。

互動說明

角 α、β：在圓上拖動兩個端點，或用滑桿調整兩個方向
合成導引：標出 $m = \frac{α + β}{2}$ 與 $d = \frac{α - β}{2}$ ；和式模式顯示平均方向，差式模式顯示半差向量
公式切換：在 sin+、sin−、cos+、cos− 四種和差化積之間切換，左式量測與統計同步更新
讀法切換：和差化積 ↔ 積化和差，同一幾何圖以正向或反向閱讀

觀察重點

和差化積來自兩方向的中點角與偏移，不是獨立背誦公式
$α \approx β$ 時 $d \to 0$ ，左式接近倍角形式，圖上會標示同角特例
積化和差與和差化積是同一幾何關係的正向與反向讀法

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