棣美弗定理與 n 次方根

參數方程

把 $z$ 寫成極形式 $z=r{e}^{i\theta }$ 後，乘冪與方根都只動兩件事：模長的乘方，以及幅角的倍數。

這就是棣美弗定理。反過來，$w=r{e}^{i\theta }$ 的 $n$ 次方根有 $n$ 個：

它們落在同一圓上，相鄰幅角差 $2\pi /n$。若 $\theta$ 取 $w$ 的主幅角，$k=0$ 的根就是主根；$w=0$ 時只有原點這一個根，幅角沒有定義。

互動說明

• 乘冪 zⁿ／方根：切換看 $z,z^2,\dots ,z^n$ 的箭頭鏈，或 $w$ 的 $n$ 個方根
• 次數 n：增加 $n$，觀察幅角如何乘倍，以及方根如何把圓更細地等分
• 拖動 z：在複平面上移動 $z$（或被開方的 $w$），讀出模長與幅角如何改寫結果

觀察重點

• 乘冪把幅角乘 $n$、模長乘方； $|z|>1$ 時箭頭往外衝，$|z|<1$ 時往原點收。
• $w\ne 0$ 時，$n$ 個方根均勻分佈在半徑 $|w{|}^{1/n}$ 的圓上；把任一根再乘 $n$ 次，都會回到 $w$。
• 這與「兩複數相乘＝幅角相加」是同一件事：自乘 $n$ 次就是把同一個幅角加 $n$ 遍。

相關作品

• 複數的極座標形式
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延伸閱讀

• 棣美弗公式（維基百科）
• 單位根（維基百科）