梯度與等位線

參數方程

二元函數 $f(x,y)$ 的等位線是 $f(x,y)=c$ 的點集合；梯度 $\nabla f$ 是偏導數組成的向量，指向 $f$ 增加最快的方向，並垂直於通過該點的等位線。

本頁用三個典型例子：圓等位線 $f=x^2+y^2$（梯度沿半徑向外）、鞍面 $f=x^2-y^2$、等位線為直角雙曲線的 $f=xy$。線性目標 $z=px+qy$ 的平行等值線見目標函數等值線。

互動說明

• 圓 x²+y²／鞍 x²−y²／雙曲 xy：切換三種函數，觀察等位線從圓變成兩族雙曲線
• 等位線族：疊上相鄰幾條等位線，對照目前通過測試點的那一條
• 拖動測試點：在圖上拖動 $P$，讀出 $f(P)$ 與 $\nabla f(P)$。金色箭頭是梯度，淡線是等位線在 $P$ 的切線，兩者保持垂直
• 把測試點移到原點時，梯度箭頭消失，畫面標示臨界點 $\nabla f=0$

觀察重點

• 梯度垂直於等位線：沿切線移動時 $f$ 幾乎不變，沿箭頭移動時 $f$ 變化最快。
• $\Vert \nabla f\Vert$ 愈大，同樣位移造成的函數變化愈劇；讀數裡的 $\Vert \nabla f\Vert$ 在原點附近變小，臨界點時箭頭消失。
• 圓的梯度沿半徑；鞍面與 $xy$ 的等位線是雙曲線，梯度仍垂直於該點的切線，方向則不一定沿半徑。

相關作品

• 目標函數等值線
• 向量場的基本圖樣
• 切線逼近動畫
• 原函數與導函數圖形對照

延伸閱讀

• 梯度（維基百科）
• 等值線（維基百科）