尤拉公式旋轉動畫

參數方程

尤拉公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 說明「乘以 $e^{i\theta }$」即為逆時針旋轉 $\theta$。動畫中單位圓上的點與實部、虛部投影同步運動，連結指數函數與三角函數。

一般化：$r{e}^{i\theta }$ 為模長 $r$、幅角 $\theta$ 的複數。

互動說明

• 振幅 A：改變旋轉向量長度與右側正弦波振幅
• 角頻率 ω：控制旋轉快慢與波形疏密
• 初相位 δ：平移旋轉起點與波形相位

觀察重點

• 複平面上旋轉向量的虛部，對應時域正弦波高度
• $e^{i(\omega t+\delta )}$ 將圓周運動與三角函數寫在同一式中
• 角頻率同時決定旋轉週期與波形空間週期

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延伸閱讀

• 尤拉公式（維基百科）