複數與尤拉公式

基本概念

複數的指數形式把旋轉與三角函數寫在同一個式子裡；乘以 $e^{i\theta }$ 即為逆時針旋轉 $\theta$。

互動說明

• 複數運算：切換加法、減法、乘法、除法，觀察 $z_1$ 與 $z_2$ 的運算結果在複平面上落到哪裡
• 尤拉公式：拖動 $\theta$，觀察 $e^{i\theta }$ 在單位圓上的位置與實部、虛部投影
• 棣美弗定理：對照 $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$ 與 $\cos n\theta +i\sin n\theta$，觀察 $n$ 次方與根在圓上的分佈

建議順序：複數運算 → 尤拉公式 → 棣美弗定理。

觀察重點

• 複數乘法的幾何本質是旋轉與伸縮，而非單純的代數運算
• $e^{i\pi }+1=0$ 把 $e,i,\pi ,1,0$ 五個常數連在一起
• 棣美弗定理說明為何 $n$ 次方根可均勻分佈在單位圓上

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延伸閱讀

• 歐拉公式（維基百科）
• 棣美弗公式（維基百科）