函數圖形與方程解集

基本概念

函數把輸入 $x$ 對應到 $f(x)$；方程與不等式則是對這張圖形施加條件。

的解是圖形與 $x$ 軸的交點；

的解是圖形位在 $x$ 軸上方的區間。

同一張圖形還能先經

改變形狀，再從零點位置與上下方區間讀出代數結論。圖形變換建立「整張曲線可被操作」的直覺；二次函數與多項式則分別示範零點個數、重數如何改變交點與符號區間。

互動說明

• 圖形變換：拖動 $a,b,h,k$，觀察基本函數 $f(x)$ 的 ghost 與變換後曲線；可切換 $x$、$x^2$、$x^3$、$|x|$ 等基底
• 二次方程：拖動 $a,b,c$，觀察拋物線與 $x$ 軸的交點、頂點與判別式 $\Delta =b^2-4ac$ 的同步變化
• 多項式不等式：拖動零點 $r_1,r_2,r_3$，各零點重數僅可設為 $1$ 或 $2$；觀察圖形穿過或碰觸 $x$ 軸，以及數線上各區間的正負號

建議順序：圖形變換 → 二次方程 → 多項式不等式。

觀察重點

• $f(x)=0$ 與 $f(x)>0$ 分別對應交點與符號區間；二次函數與多項式只是零點個數與重數不同，讀圖方式相同。
• 頂點式 $a(x-h{)}^2+k$ 與一般式 $a{x}^2+bx+c$ 描述同一拋物線；判別式則預告圖形與 $x$ 軸有兩個交點、一個切點或沒有實數交點。
• 零點把數線切成區間；重數 $1$ 時圖形穿過 $x$ 軸，重數 $2$ 時只碰觸後折回，符號區間隨之改變。

相關作品

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延伸閱讀

• 方程（維基百科）
• 不等式（維基百科）