多項式零點與重根 · 羊·實驗

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調整參數收合參數點開後向下滑動以調整

參數方程

多項式可用因式形式表示：

f (x) = a (x - r_{1})^{m_{1}} (x - r_{2})^{m_{2}} (x - r_{3})^{m_{3}}

其中 $r_{i}$ 是零點， $m_{i} \in {1, 2}$ 是重數。當 $x = r_{i}$ 時 $f (r_{i}) = 0$ ，圖形在該處接觸或穿過 $x$ 軸。

方程 $f (x) = 0$ 關心零點位置；不等式 $f (x) > 0$ 關心哪些區間讓圖形位在 $x$ 軸上方。

互動說明

零點 $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ ：拖動零點位置，或在圖上直接拖動 $r_{i}$ 標記，觀察圖形與 $x$ 軸相交處如何移動
重數 $m_{i}$ ：各零點僅可在 $1$ 與 $2$ 間切換； $m_{i} = 1$ 時穿過 $x$ 軸， $m_{i} = 2$ 時碰觸後折回
重數 guide：開啟後標示各零點的穿過／碰觸方式，對照重數與圖形行為
符號數線：下方數線同步顯示各區間正負號，對照 $f (x) > 0$ 與 $f (x) < 0$ 的解集

觀察重點

零點把數線切成區間；區間內符號由最高次項係數 $a$ 與各零點重數共同決定。
重數 $1$ 時圖形穿過 $x$ 軸，重數 $2$ 時只碰觸不穿越，符號在該點兩側相同。
二次函數可視為至多兩個零點、重數僅為 $1$ 或 $2$ 的特例；判別式預告實根個數，重數則決定碰觸方式。

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