有理函數與漸近線

基本概念

有理函數是兩個多項式的商：

其中 $Q$ 不恆為零。判斷漸近線與不連續時，應先看約簡後的 $\frac{P(x)}{Q(x)}$。

• 垂直漸近線：若約去公因式後，$x=a$ 使分母為零而分子不為零，則 $x=a$ 為垂直漸近線；當 $x\to a^{\pm }$ 時，$R(x)$ 可能趨向 $+\infty$ 或 $-\infty$，圖形沿垂直方向無界
• 可去不連續（洞）：若分子分母在 $x=a$ 同時為零，約分後可能只剩洞，例如 $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}=x+2$（$x\ne 1$）：主體是直線 $y=x+2$，但在 $x=1$ 有一個洞
• 水平漸近線：由約簡後最高次項決定；$\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$ 時遠處趨近 $0$，$\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q$ 時趨近首項係數比
• 斜漸近線：當約簡後 $\mathrm{deg}P=\mathrm{deg}Q+1$，長除法得一次式商 $S(x)$；本頁把這種一次式遠處骨架稱為斜漸近線，$R(x)-S(x)\to 0$

不連續點、零點與漸近線一起構成有理函數的「骨架」。

互動說明

• 因式：以倍率 $A$、零點 $r$、漸近線 $a$ 組合 $R(x)=A\frac{x-r}{x-a}$，即時更新圖形、零點與垂直漸近線標示
• 洞：讓分子分母出現共同因式，用「洞標記」開關對照約分後留下的可去不連續
• 水平：比較約簡後分子與分母的次數，觀察遠處趨近的高度
• 斜漸近線：當次數差為 $1$ 時顯示一次式商；開「進階模式」可看「約分與拆式」的逐行說明

建議順序：因式 → 洞 → 水平 → 斜漸近線。

觀察重點

• 近處的爆開或破洞、遠處的水平或斜線，都要先問約簡後還剩下什麼；同一張商式在不同尺度讀出不同骨架。
• 分母零點不一定是垂直牆：約掉之後可能只剩洞。遠近兩種讀法用的是同一份約簡結果。
• 水平與斜是遠處的兩種骨架；它們不取代近處的不連續，只是把同一個 $R(x)$ 在無窮遠再讀一次。

相關作品

• 垂直與水平漸近線
• 斜漸近線與多項式除法
• 多項式零點與重根
• 函數圖形與方程解集

延伸閱讀

• 有理函數（維基百科）
• 漸近線（維基百科）