拋物線的受限平移

題意

拋物線 $\Gamma$ 的頂點 $P$ 位在直線 $\ell :y=1+2x$ 上，並與 $x$ 軸交於 $A=(-\frac{1}{2},0)$、$B=(\frac{1}{2},0)$。把整條拋物線平移後，新頂點 $Q$ 仍在 $\ell$ 上，新圖形也通過 $B$。已知 $P$、$Q$ 相異，求平移距離 $PQ$。

完整題目見大考中心 115 學測數學 A 試卷。

為什麼會錯

試題分析整理的大考中心資料顯示，本題答對率為 $31\%$，高分群為 $63\%$、低分群為 $7\%$。容易漏掉的不是解二次方程，而是條件的先後： 「仍通過 $B$」會給出兩個位置，其中原位 $Q=P$ 也符合；必須再用「$P$、$Q$ 相異」排除它。

觀念

由兩個 $x$ 軸交點，原拋物線可寫成

它的對稱軸是 $x=0$，而頂點又在 $y=1+2x$ 上，所以 $P=(0,1)$，代回可得 $a=-4$，即 $f(x)=-4x^2+1$。

設平移後的頂點是 $Q=(h,1+2h)$，新拋物線保持形狀：

代入固定通過點 $B=(\frac{1}{2},0)$：

因此 $h=0$ 或 $h=\frac{3}{2}$。前者使 $Q=P$，違反兩點相異，所以取 $h=\frac{3}{2}$。兩頂點都沿方向向量 $(1,2)$ 移動，故

整段只用二次函數頂點式、圖形平移、一元二次方程與向量長度，不需要微分。

互動怎麼看

• h=0，Q=(0,1)：先選原位，確認它雖然仍通過 $B$，卻違反 $P$、$Q$ 相異。
• h=3/2，Q=(3/2,4)：再選另一位置，藍色拋物線仍通過 $B$，且頂點沿 $\ell$ 移動。
• 比較線段 $PQ$ 與直線 $\ell$ 的方向，讀出平移向量 $(h,2h)$ 和距離 $\frac{3\sqrt{5}}{2}$。