焦弦投影的兩個三角比

題意

拋物線上兩點 $A,B$ 的連線通過焦點 $F$。把 $A,F,B$ 垂直投影到準線，分別得到 $A^{\prime },F^{\prime },B^{\prime }$；題目要從五個三角比中，找出與 $\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{A^{\prime }A}$ 相等的選項。 完整圖形與選項見 大考中心 111 分科測驗數學甲試卷。

為什麼會錯

大考中心的試題特色分析 記錄本題得分率為 $41\%$。選項 ③、④、⑤較難判斷，關鍵不是另找一條拋物線公式， 而是先把「點到焦點的距離等於點到準線的距離」標成等長，再補出直角三角形。

觀念

設

兩組等長分別來自拋物線定義。投影線 $A^{\prime }A$、$F^{\prime }F$、$B^{\prime }B$ 都垂直於準線，因此彼此平行； 又因 $A,F,B$ 共線，焦弦與這些投影線的銳夾角相同。把這個角記為 $\theta$，便有

選項 ③ 的角正是 $\angle A^{\prime }AF=\theta$，所以

在 $F^{\prime }{B}^{\prime }B$ 的直角投影中，選項 ⑤ 則給出

因此正確選項為 ③、⑤，與 大考中心答案表 相符。

互動怎麼看

• 拖動「A 的高度」，觀察焦弦另一端 $B$、三條投影線與比值如何同步改變。
• 先看金色的 $A^{\prime }{F}^{\prime }$ 與焦弦，再用 $A^{\prime }A=AF$ 把選項 ③ 改寫成題目所求的比。
• 看藍色輔助線 $F^{\prime }B$，確認選項 ⑤ 的正切是 $F^{\prime }{B}^{\prime }/B^{\prime }B$，而且始終等於題目所求。