圓心在 x 軸、兩垂線距離比與切線斜率

題意

坐標平面上，圓 $C$ 的圓心落在 $x$ 軸上，且與兩條互相垂直的直線

都不相交。令圓上各點到 $L_1$、$L_2$ 的最短距離分別是 $d_1$、$d_2$。若 $d_1$ 是 $d_2$ 的三倍，求過原點且與圓相切的直線斜率（化成最簡根式）。

完整題目見大考中心 115 分科數學甲試卷。

為什麼會錯

常見卡點有三：把「不相交」寫成距離 $\ge$ 半徑（其實相切也算相交）、把圓心到直線距離直接當成 $d_1$、$d_2$，或求出半徑後又用錯誤的切線條件。距離比先把圓定住，切線斜率是下一步，不要混成同一個方程。

觀念

設圓心為 $(a,0)$、半徑 $r>0$。點到直線距離公式給

不相交要求 ${\delta }_1>r$、${\delta }_2>r$，此時

代入 $d_1=3d_2$ 得 $r=|a|/2$。再求過原點的切線 $y=mx$：圓心到該直線距離等於半徑，

因此斜率為 $\pm \sqrt{3}/3$（選填寫成 $\pm$、$\sqrt{3}$、$3$）。

互動怎麼看

• 拉動 a：圓心沿 $x$ 軸移動；半徑自動取使 $d_1:d_2=3:1$ 的 $|a|/2$，並夾住不相交區間。
• 藍、紫短線段是圓到 $L_1$、$L_2$ 的最短距離；比值應穩定在約 $3:1$。
• 金色虛線是過原點的兩條切線；讀出斜率 $\pm \sqrt{3}/3$，確認它不隨 $|a|$ 改變。