乘冪與方根

基本概念

複數乘法把兩支箭頭的幅角相加、模長相乘。把「乘上同一個 $z$」做 $n$ 遍，幅角就加 $n$ 次，這是乘冪；把這個動作倒過來，就是把圓 $n$ 等分成方根。

本頁不重講極形式或尤拉公式本身，而是讓同一條幅角規則在三種操作裡換角色：乘別人、乘自己、開方。單件公式與拖點細節留給下方作品。

互動說明

• 乘法：拖動 $z_1$、$z_2$，看乘積的幅角是否為兩者之和
• 乘冪：切換到同一個 $z$ 的 $z,z^2,\dots ,z^n$，對照幅角乘 $n$
• 方根：觀察 $n$ 個方根如何把圓等分；把任一根再乘 $n$ 次會回到原來的 $w$
• 次數 n：只在乘冪／方根出現；調整 $n$ 會讓等分更細、乘冪轉得更急

建議順序：乘法 → 乘冪 → 方根。

觀察重點

• 三種讀法都在做同一件事：幅角相加、模長相乘；差別只在加的是「別人的角」還是「自己的角加 n 遍」。
• 乘冪把同一條規則連做 $n$ 次，點沿等角螺線（$|z|=1$ 時為圓）一步步走（每次轉 $\arg z$、長度乘 $|z|$）；開方是倒過來，把一次旋轉拆成 $n$ 等分。
• 乘法、乘冪、開方可以互相還原：開方再乘回去會回到出發點；反過來，$z^n$ 開 $n$ 次方得到 $n$ 個根，$z$ 只是其中之一；三種畫面讀的是同一條幅角規則的正反方向。

相關作品

• 棣美弗定理與 n 次方根
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延伸閱讀

• 棣美弗公式（維基百科）
• 單位根（維基百科）