反函數鏡射

參數方程

若函數 $f$ 有反函數 $f^{-1}$，則

幾何上，$y=f(x)$ 與 $y=f^{-1}(x)$ 關於直線 $y=x$ 對稱：若 $(a,b)$ 在 $y=f(x)$ 上，則 $(b,a)$ 在 $y=f^{-1}(x)$ 上。

互動說明

• 函數選擇：切換線性、限制區間二次（quad+）、未限制二次（quad）與指數函數
• 底數 $q$（指數模式）：調整 $q^x$ 的底數，觀察指數曲線與其鏡射圖形
• 動點 $P$：拖動輸入 $x$ 或直接在圖上拖動 $P=(a,b)$，同步顯示鏡射點 $P^{\prime }=(b,a)$ 與對稱線 $y=x$
• guide：開啟後顯示 $P$ 與 $P^{\prime }$ 的連線與座標軸投影，標示輸入輸出交換
• 水平線測試：未限制二次函數（quad）時顯示水平線交點數，提示需限制定義域才能形成反函數

觀察重點

• 反函數把自變數與因變數的角色對調，圖形沿 $y=x$ 鏡射，而非重新畫一條無關曲線。
• $y=a^x$ 與 $y={\log }_{a}x$ 互為反函數，兩圖形關於 $y=x$ 對稱。
• 不是每個函數都有反函數；限制定義域後，圖形才可能通過水平線測試。

相關作品

• 指數與對數
• 指數成長與衰減
• 自然對數 e 的幾何定義
• 對數尺度

延伸閱讀

• 反函數（維基百科）
• 水平線檢定法（維基百科）