指數與對數

基本概念

對 $a>0,a\ne 1$，指數函數 $y=a^x$ 與對數函數 $y={\log }_{a}x$ 互為反函數；自然底 $e\approx 2.718$ 是連續複利與微積分中最自然的底數。

本頁固定同一組指數關係，只換讀法：先沿 $y=x$ 把它讀成鏡像，再把縱軸換成 log 讓倍增變成固定斜率，最後用面積說明 $e$ 為什麼自然。單一模型的深入留給對應的單件作品。

互動說明

• 指數與對數：拖動底數 $a$，觀察 $y=a^x$ 與 $y={\log }_{a}x$ 沿 $y=x$ 互為鏡像；按「log y 座標」讓同一條指數曲線變成斜率 $\ln a$ 的直線
• e 的誕生：加大分割數 $n$，觀察 $(1+1/n{)}^n$ 逼近 $e$；拖動面積端點，找出 $y=1/x$ 下方面積恰為 $1$ 的位置
• 換底與比較：改變底數，觀察所有 ${\log }_{a}x$ 都通過 $(1,0)$，底數只透過 ${\log }_{a}x=\ln x/\ln a$ 改變尺度

建議順序：指數與對數 → e 的誕生 → 換底與比較。

觀察重點

• 指數與對數關於 $y=x$ 對稱；同一條曲線換成 log y 座標後，倍增關係就從彎曲變成固定斜率。
• 換座標沒有改變任何資料，只改變「等距代表什麼」：線性軸上等距是等差，log 軸上等距是等比。
• 一切底數的 ${\log }_{a}x$ 都過 $(1,0)$，彼此只差一個常數倍；$e$ 的特別不在圖形形狀，而在它讓 $y=1/x$ 下方面積恰好為 $1$。

相關作品

• 指數成長與衰減
• 對數尺度
• 自然對數 e 的幾何定義
• 邏輯斯蒂曲線

延伸閱讀

• 自然對數（維基百科）
• 對數尺度（維基百科）