自然對數 e 的幾何定義

參數方程

自然對數可定義為 $\ln t={\int }_1^t\frac{1}{x}dx$。當 $t>1$ 時，它是雙曲線 $y=1/x$ 與 $x$ 軸、$x=1$、$x=t$ 所圍的正面積；當 $0<t<1$ 時則是帶符號面積。數 $e$ 滿足 $\ln e=1$，是使這個積分值為 $1$ 的唯一正數，並與 $e^x$ 互為反函數。

導數關係：$\frac{d}{dt}\ln t=\frac{1}{t}$。

互動說明

• 面積填充：$t$ 滑桿拖動，即時著色 ${\int }_1^{t}1/xdx$ 並顯示數值
• $e$ 標記：當面積累積至 1 時標出 $t=e\approx 2.71828$
• 矩形黎曼和：可選細分逼近，連結黎曼和作品
• 與 $e^x$ 對照：切換顯示指數曲線與對數互為反函數的對稱關係

相關作品

• 對數尺度
• 指數成長與衰減
• 黎曼和動態圖

延伸閱讀

• 自然對數（維基百科）
• 自然常數 e（維基百科）