指數成長與衰減

參數方程

指數函數 $y=C{e}^{kt}$ 在 $k>0$ 時呈爆炸性成長，$k<0$ 時單調衰減至 0。倍增時間 $T_{+}=\ln 2/k$、半衰期 $T_{1/2}=\ln 2/|k|$ 把參數 $k$ 轉成可直觀的時間尺度，常見於人口、放射性與複利模型。

倍增（$k>0$）：$y(t+T_{+})=2y(t)$；衰減（$k<0$）：$y(t+T_{1/2})=\frac{1}{2}y(t)$。

互動說明

• 成長／衰減：切換指數符號，觀察同一式子的兩種行為
• 初始值 C／速率 |k|：調整起點與快慢，對照曲線陡峭度的變化
• 切線斜率：顯示 $\frac{dy}{dt}=ky$，強調斜率與當前高度成正比
• ln y 尺度：切換縱軸為 $\ln y$，觀察指數成長變成直線

觀察重點

• 成長時垂直標記是倍增時間，衰減時是半衰期；每格相隔 $\ln 2/|k|$
• 切線斜率等於當前高度乘以 $k$；點越高，斜率按同一比例越陡
• 在 $\ln y$ 尺度下，同一條曲線成為直線 $\ln y=\ln C+kt$

相關作品

• 對數尺度
• 自然對數 e 的幾何定義
• 邏輯斯蒂曲線

延伸閱讀

• 指數函數（維基百科）