切線逼近動畫

分析微積分

參數方程

割線斜率：

m=f(xP+Δx)−f(xP)Δxm = \frac{f(x_P + \Delta x) - f(x_P)}{\Delta x}

當 Δx→0\Delta x \to 0 時收斂至導數。點斜式：

y−f(xP)=m(x−xP)y - f(x_P) = m(x - x_P)

函數：

f(x)=0.25sin⁡(2πkx+t)−0.4(x−0.5)2f(x) = 0.25\sin(2\pi k x + t) - 0.4(x - 0.5)^2

切點 xP=0.5+0.1sin⁡(0.6t)x_P = 0.5 + 0.1\sin(0.6t) 隨時間微動。Δx 由坍縮動畫從 0.4 收斂至目標值；Ghost 曲線在 k 變更時以快照時間重建。

實作要點

  • 數學與渲染分離：[0,1][0,1] 歸一化域計算，映射層負責縮放
  • 唯一函數源：割線端點與延伸線共用 evaluateTangentFn
  • 極限坍縮：collapse 進度驅動 Δx 從 0.4 → 目標
  • 發光管線：割線與延伸線分層 glow；P、Q 標註點

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