基本概念
組合數 表示從 個位置中選出 個位置，且不計排列順序的方法數。同一個數可以讀成 中選出 個 的係數，也可以讀成 步路徑中選出 步向右的總數：
帕斯卡遞迴則說明這些數如何由上一列生成：
卡特蘭數不是另一個獨立的 。它從所有平衡路徑 中，只保留不越過限制線的合法子集合：
互動說明
- 係數表：在帕斯卡三角形中選擇一格，讀成 與二項式係數
- 路徑模型：把同一個數讀成固定步數中選哪些步向右
- 遞迴依賴：用依賴錐觀察 如何由上一列兩格相加
建議順序：係數表 → 路徑模型 → 遞迴依賴；最後對照卡特蘭數如何加入限制條件。
觀察重點
- 同一個 可以同時是二項式係數、選步位置數，也是在遞迴表中的一格
- 路徑模型把「選 個位置」具體化：總步數固定後，只需決定哪些步向右或向上
- 卡特蘭數是在 的全部平衡路徑上加限制；它計數的是合法子集合，不是另一個平行的組合公式