二項式展開的幾何意義

參數方程

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 可用正方形分割證明；$(a+b{)}^3$ 對應立方體三向分割。一般 $(a+b{)}^n$ 的各項係數 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 即為選 $k$ 個 $b$（其餘為 $a$）的組合數，與帕斯卡三角形一致。

幾何：二維情形為邊長 $(a+b)$ 的正方形分成四塊；三維為邊長 $(a+b)$ 的立方體分成八塊。

互動說明

• 維度切換：$n=2$ 平面分割、$n=3$ 立體投影（或展開圖）
• 參數 $a,b$：滑桿調整兩段長度，面積／體積標籤即時更新
• 係數對應：每塊區域標示 $a^{n-k}{b}^k$ 與 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$

相關作品

• 帕斯卡三角形
• 組合的路徑計數
• 卡特蘭數

延伸閱讀

• 二項式定理（維基百科）