二項式展開的幾何意義

參數方程

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 可用正方形分割證明；$(a+b{)}^3$ 對應立方體三向分割。一般 $(a+b{)}^n$ 的各項係數 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ 即為選 $k$ 個 $b$（其餘為 $a$）的組合數，與帕斯卡三角形一致。

幾何：二維情形為邊長 $(a+b)$ 的正方形分成四塊；三維為邊長 $(a+b)$ 的立方體分成八塊。

互動說明

• 維度切換：$n=2$ 平面分割、$n=3$ 立方體斜投影
• 參數 $a,b$：滑桿調整兩段長度（1 到 10），區塊大小隨之改變，標籤維持單項式，不標面積或體積
• 係數對應：每塊區域只標示單項式 $a^{n-k}{b}^k$；同一單項式出現的塊數就是係數 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$

觀察重點

• 兩塊標示 $ab$ 的區域就是係數 2；三塊 $a^{2}b$ 與三塊 $a{b}^2$ 就是係數 3
• 這些塊數正是帕斯卡三角形的第 2 列與第 3 列；本圖不畫出三角形
• 區塊上不標面積或體積，只標單項式；改變長度只改變區塊大小，不改變區塊上的文字

相關作品

• 帕斯卡三角形
• 組合的路徑計數
• 卡特蘭數

延伸閱讀

• 二項式定理（維基百科）