卡特蘭數

參數方程

卡特蘭數 $C_n=\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ 計數多種結構：$n$ 對括號的合法匹配、從 $(0,0)$ 到 $(n,n)$ 不越對角線的格路徑、凸 $n+2$ 邊形的三角剖分等。視覺化可在不同模型間切換同一 $C_n$。

遞迴：

互動說明

• 模型切換：括號序列／戴克格路徑／剖分（$n$ 較小時）三種視圖
• 與二項式連結：標註 $\frac{1}{n+1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ 在帕斯卡三角形中的位置
• 階數 n：控制物件規模，$n>6$ 時改為抽樣顯示避免組合爆炸

相關作品

• 帕斯卡三角形
• 組合的路徑計數
• 二項式展開的幾何意義

延伸閱讀

• 卡特蘭數（維基百科）