帕斯卡三角形 · 羊·實驗

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調整參數收合參數點開後向下滑動以調整

參數方程

帕斯卡三角形第 $n$ 列第 $k$ 項為 $(k n)$ ，滿足 $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ 。三角形匯聚了二項式定理、楊輝三角與多條組合恆等式的幾何證據。

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}, (k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)

二項式定理：

(x + y)^{n} = k = 0 \sum n (k n) x^{n - k} y^{k}

互動說明

列數：控制顯示至第 $n$ 列，避免大 $n$ 時版面溢出
模：選擇素數 $p$ （2、3、5、7）對 $(k n)$ 取模並著色；模 2 時空心點構成謝爾賓斯基三角形，其他素數呈現的是整除圖樣，不是謝爾賓斯基三角形
點選格子：點某一格時，高亮經由反覆「上兩格相加」匯入它的整個錐形區域，不只正上方兩格

觀察重點

餘數圖樣左右對稱，因為 $(k n) = (n - k n)$ ，取模不會破壞這個等式
高亮的錐形區域，是把帕斯卡遞迴一路倒推回三角形頂端
模 2 時，空心格是偶數的二項式係數，構成謝爾賓斯基三角形；其他素數空出的是被該素數整除的係數，那個圖樣不是謝爾賓斯基三角形

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帕斯卡三角形（維基百科）

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