向量投影與分解

參數方程

任意向量 $\mathbf{a}$ 可相對於非零向量 $\mathbf{b}$ 分解為平行分量 ${\mathbf{a}}_{\parallel }$ 與垂直分量 ${\mathbf{a}}_{\perp }$，滿足 $\mathbf{a}={\mathbf{a}}_{\parallel }+{\mathbf{a}}_{\perp }$ 且 ${\mathbf{a}}_{\perp }\cdot \mathbf{b}=0$。投影是內積的幾何輸出，也是最小二乘「沿 $\mathbf{b}$ 方向最佳近似」的核心。

投影：

垂直分量：

互動說明

• a 投影到 b：顯示 $\mathbf{a}$ 落到 $\mathbf{b}$ 直線上的垂足與兩色分量；可切換成 b 投影到 a
• 分解動畫：播放垂足落下的過程，觀察平行與垂直分量如何分開
• 誤差長度：標示 $|{\mathbf{a}}_{\perp }|$，說明它就是點到直線的最短距離
• 正交基 e₁, e₂：切換到正交基底，觀察同一支向量的座標分解

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延伸閱讀

• 向量投影（維基百科）