泰勒多項式逼近 · 羊·實驗

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參數方程

函數 $f$ 在 $x = a$ 的 $n$ 階泰勒多項式：

T_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}

在 $x = a$ 附近， $T_{n}$ 與 $f$ 的函數值與前 $n$ 階導數相同。本頁以 $sin x$ 、 $cos x$ 、 $e^{x}$ 為例；經典展開（ $a = 0$ ）：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots, e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots

離開中心愈遠，高階項的影響越明顯；有限階 $T_{n}$ 只是一個多項式近似，不會在整條實數軸上完全等於 $f$ 。

互動說明

函數選擇：切換 $sin x$ 、 $cos x$ 、 $e^{x}$ ，觀察各函數的係數規律
拖動展開中心 a：直接在圖上拖動 $a$ ，觀察逼近最準的位置如何跟著中心平移
階數 n：以滑桿增加 $n$ ，觀察 $T_{n}$ 在淡色的原函數上逐步貼合
誤差帶：顯示 $∣ f (x) - T_{n} (x) ∣$ ，標出近處準、遠處偏離
項次分解：在進階模式展開各次項 $\frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}$ 的疊加，觀察哪一階開始主導修正

觀察重點

泰勒多項式在 $x = a$ 附近最準；離中心愈遠，有限階數的誤差通常愈大。
$sin x$ 、 $cos x$ 的奇偶次項分離； $e^{x}$ 各階導數都是 $e^{x}$ ，係數遞減最規律。
增加 $n$ 會改善局部貼合，但不保證在整個視窗內單調變準（例如高階項在遠處主導）。

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