邊上兩個隨機點的面積機率

題意

在正三角形 $ABC$ 的邊 $AB$、$AC$ 上，各自獨立、均勻地隨機取一點 $P$、$Q$。問 $△APQ$ 的面積小於 $△ABC$ 面積一半的機率，落在哪一個區間。（五選一，選項都是區間）

完整題目與選項見 AoPS 題目頁。

為什麼會錯

• 以為「隨機」加上對稱，機率就是 $\frac{1}{2}$。面積比是 $xy$，不是 $x$ 或 $\frac{x+y}{2}$；兩點都在中點時面積比只有 $\frac{1}{4}$，小於一半的情況其實是多數。
• 知道要算 $xy<\frac{1}{2}$ 的機率，卻把分界 $xy=\frac{1}{2}$ 當成直線；它是雙曲線，區域面積跟著算錯。
• 以為一定要會 $\int \frac{1}{x}dx=\ln x$ 才能做。題目只問落在哪個區間，用夾擠就夠了。

觀念

設 $x=\frac{AP}{AB}$、$y=\frac{AQ}{AC}$，兩者獨立且均勻分佈在 $[0,1]$。兩三角形共用 $\angle A$：

所求就是單位正方形中 $xy<\frac{1}{2}$ 的面積。補集 $xy\ge \frac{1}{2}$ 在曲線 $y=\frac{1}{2x}$ 上方，而且只出現在 ${\left[\frac{1}{2},1\right]}^2$ 裡：

（$\frac{1}{x}$ 的積分與自然對數 $\ln$ 超出高中數學的學習內容，這裡只用來給出精確值。）

不用積分也行：補集包住以 $\left(\frac{1}{2},1\right)$、$(1,1)$、$\left(1,\frac{1}{2}\right)$ 為頂點的三角形（曲線下凸，弦在曲線上方），面積大於 $\frac{1}{8}$；又被邊長 $\frac{1}{2}$ 的正方形包住，面積小於 $\frac{1}{4}$。所以機率介於 $\frac{3}{4}$ 與 $\frac{7}{8}$ 之間，選 (D)。

互動怎麼看

• 拖曳左圖的 $P$、$Q$（或右圖的點）：金色的 $△APQ$ 與正方形裡的點同步移動；點移到金色曲線 $xy=\frac{1}{2}$ 右上方時，面積比就不小於一半。
• 模擬兩萬組隨機的 $(x,y)$：藍點在曲線下方、紅點在上方，下方折線是累積比例，逐漸收斂到約 0.8466，停在金色帶狀區 $\left(\frac{3}{4},\frac{7}{8}\right]$ 裡。
• 按「顯示夾擠圖形」：紅色區域被虛線正方形包住、又包住金色三角形，不用積分就能把機率夾在 $\frac{3}{4}$ 與 $\frac{7}{8}$ 之間。