邏輯斯蒂曲線

參數方程

邏輯斯蒂曲線（連續時間）描述資源受限下的成長：初期近似指數增長，中期轉折，末期趨近承載上限 $L$。與離散映射 $x_{n+1}=r{x}_n(1-x_n)$ 的分岔圖不同，本條目聚焦平滑 S 形微分方程解。

等價微分方程：

拐點在 $y=L/2$，對應 $t=\frac{\ln a}{k}$。

互動說明

• 參數 $L,k,a$：滑桿調整飽和水平、成長速率與初值偏移
• 三階段標註：緩增—急增—飽和三區間，可選顯示 $\frac{dy}{dt}$
• 與指數對照：同圖疊加 $C{e}^{kt}$ 片段，說明早期近似
• 分岔圖連結：文內連結離散單峰映射分岔作品，避免概念混淆

觀察重點

• 標出的拐點位於承載上限的一半，也是所畫 $\frac{dy}{dt}$ 最大的位置
• 虛線 $C{e}^{kt}$ 只在高度仍小時貼近曲線，之後曲線轉向 $L$
• 緩增、急增、飽和是同一條平滑解的三段，不是離散映射的倍週期分岔

相關作品

• 指數成長與衰減
• 單峰映射分岔圖

延伸閱讀

• S型函數（維基百科）