巴塞爾問題

參數方程

巴塞爾問題求 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$。尤拉證得和為 $\frac{{\pi }^2}{6}$。可用 $\sin x$ 的無窮乘積展開或面積分割，把級數收斂與圓周率平方聯繫在一起。

部分和 $S_N=\sum _{n=1}^N\frac{1}{n^2}$ 單調遞增趨近 $\frac{{\pi }^2}{6}$。

互動說明

• 項數 N：由小到大加項，觀察部分和逐步逼近 ${\pi }^2/6$
• 冪次 p：切到 $p$-級數，比較 $p\le 1$ 發散與 $p>1$ 收斂的差別
• 部分和／面積：切換條狀累加與面積堆疊兩種讀法
• 比較：與等比級數對照，觀察兩者收斂快慢的差距

觀察重點

• 部分和模式中，折線單調靠近 ${\pi }^2/6$，誤差會隨 $N$ 增加下降。
• 比較模式把調和級數、巴塞爾級數與等比級數放在同一座標中，收斂速度差異會直接分開。
• $p$-級數模式中，當 $p\le 1$ 時畫面標示發散區域；當 $p>1$ 時部分和會趨近有限值。

相關作品

• 等差等比數列的幾何視覺
• 費波那契螺線
• 黎曼和動態圖

延伸閱讀

• 巴塞爾問題（維基百科）