等差等比數列的幾何視覺 · 羊·實驗

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調整參數收合參數點開後向下滑動以調整

參數方程

等差數列 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 可視為等長步長的累加折線；等比數列 $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ 對應逐段伸縮的長度或面積。幾何分割能直觀呈現 $S_{n}$ 的封閉公式。

等差求和：

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n [ 2 a _{1} + ( n - 1 ) d ]}{2}

等比求和（ $r \neq = 1$ ）：

S_{n} = a_{1} \frac{1 - r ^{n}}{1 - r}

互動說明

等差／等比：切換數列型態，側欄改為暴露 $a_{1}, d$ 或 $a_{1}, r$
首項 a₁：移動起點，觀察整條數列與 $S_{n}$ 一起改變
公差 d／公比 r：改變遞增方式，對照等差的線性堆疊與等比的倍增
項數 n：調整 $n$ ，同步顯示 $S_{n}$ 與公式代數值

觀察重點

等差模式中，柱高沿著同一條斜線增長，反向輪廓疊在同一排柱上。
等比模式中，每一項寬度按該項縮放、高度相同，總面積逐步累加到封閉公式 $S_{n}$ 。
當 $n$ 增加時，畫面累加值先逐項生成，再與右側公式值對照。

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