抽獎等待與幾何分佈

題意

某抽獎每次成功機率固定為 $0.1$，每抽一次消耗一個代幣。題目要求判斷第一次成功的平均等待次數、 有限個代幣帶來的中獎率，以及要讓中獎率超過九成所需的最少代幣數。完整題目與選項見 大考中心 113 分科測驗數學甲試卷。

為什麼會錯

大考中心的試題特色分析 記錄本題得分率為 $56\%$、鑑別度為 $0.42$。常見錯誤是把「兩次至少中一次」直接寫成 $0.1+0.1$，或把機率會趨近 $1$ 說成有限次就能保證等於 $1$。另一個陷阱是忽略「大於九成」 是嚴格不等式。

觀念

令 $X$ 表示第一次中獎所需的抽獎次數，則

這是從 $1$ 開始計數的幾何分佈，期望值為

若有 $n$ 個代幣，至少中獎一次的機率應從反事件計算：

兩次的中獎率是 $1-0.9^2=0.19$，不是 $0.2$。要讓中獎率嚴格大於 $0.9$， 需解 $0.9^n<0.1$，最小整數為 $n=22$。任何有限的 $n$ 都仍有 $0.9^n>0$， 所以中獎率只會趨近 $1$，不會保證等於 $1$。

互動怎麼看

• 調整代幣數 $n$，直接比較 $1-0.9^n$ 與九成門檻。
• 直方圖累積一萬次「等到第一次中獎」的等待次數；最右格合併所有 $X\ge 24$。
• 下方折線追蹤樣本平均，樣本增加時會逐漸靠近期望值 $10$。