正弦與餘弦的疊合

題意

給定一個正弦與餘弦的線性組合，題目要求從圖形對稱軸、特定函數值的解，以及與另一個週期函數 之間的平移關係判斷正確敘述。完整題目與選項見 大考中心 112 學測數學 A 試卷。

為什麼會錯

大考中心的答對率及鑑別度表 顯示本題平均得分率為 $21\%$，全對率只有 $6\%$。困難點不是疊合公式本身，而是化成單一正弦波後， 還要同時讀出極大與極小的對稱軸、在一個週期內完整找解，並辨認平方三角函數的振幅與垂直位移。

觀念

原題函數可寫成

振幅為 $2$，週期為 $2\pi$。正弦波在波峰與波谷處都有鉛直對稱軸，因此

相鄰兩條對稱軸一條通過極大值、下一條通過極小值，軸上的函數值不會相同。方程 $f(x)=\sqrt{3}$ 在 $[0,2\pi )$ 內也不只一個解，例如 $x=0$ 與 $x=\pi /3$ 都成立。

另一方面，

同樣有振幅 $2$ 與週期 $2\pi$；經水平與垂直平移後，可以和 $f$ 的圖形重合。

互動怎麼看

• 調整 $a$、$b$，觀察 $a\sin x+b\cos x$ 如何變成 $R\sin (x+\varphi )$。
• 圖例分開標出兩個原始分量與金色合成波；可重播相位平移。
• 虛線標出波峰與波谷的對稱軸，回到原題時是 $x=\pi /6$ 與 $x=7\pi /6$。