邊向定軌的平行四邊形面積

題意

坐標平面上的平行四邊形，其中兩邊所在直線與 $5x-y=0$ 平行，另兩邊所在直線與 $3x-2y=0$ 垂直。兩對角線交於 $Q$，且有一頂點 $P$ 滿足 $\overrightarrow{PQ}=(10,-1)$。求面積。

完整題目見大考中心 114 分科數學甲試卷。

為什麼會錯

很多人會先設四個頂點坐標硬解方程組，符號一多就容易算錯。其實邊向已被鎖死，中心到頂點只是半條對角；面積是兩邊向量外積的絕對值，不必把四點都寫出來。

觀念

與 $5x-y=0$ 平行的邊方向取 ${\mathbf{u}}_0=(1,5)$；與 $3x-2y=0$ 垂直的邊方向取斜率 $-2/3$，即 ${\mathbf{v}}_0=(3,-2)$。設邊向量為 $\alpha {\mathbf{u}}_0$、$\beta {\mathbf{v}}_0$，則

四組解都滿足 $|\alpha \beta |=12$，而

故面積

互動怎麼看

• 藍、紫虛線是兩族邊向「軌道」。
• 拖藍色箭頭 $\mathbf{u}=\alpha {\mathbf{u}}_0$ 或紫色箭頭 $\mathbf{v}=\beta {\mathbf{v}}_0$ 的尖端越過 $P$，可翻轉 $\alpha$ 或 $\beta$ 的正負；側欄按鈕切換同樣的四組符號（半對角 ½(u+v)／½(u−v) 是內層 $\pm$，$PQ$ 同向／反向是外層 $\pm$）。
• $Q$ 固定在原點、$P=(-10,1)$，所以 $\overrightarrow{PQ}=(10,-1)$ 與題目一致；四組符號解都是同一個金色平行四邊形，只有沿軌道的箭頭方向翻轉。
• 為什麼不能連續拖？$PQ$ 固定加上兩邊方向鎖死後，只剩四組離散的符號解，面積恆為 $204$（$|\alpha \beta |=12$ 乘上方向外積 $17$）。
• 對照側欄的 $|\mathbf{u}\times \mathbf{v}|$，確認不必逐一解四頂點。