繁花曲線

幾何三角函數參數方程

參數方程

繁花曲線（Spirograph / 內擺線）模擬小圓在大圓內部滾動的軌跡，其方程式為：

x=(R−r)cos⁡t+dcos⁡ ⁣(R−rrt),y=(R−r)sin⁡t−dsin⁡ ⁣(R−rrt)x = (R-r)\cos t + d\cos\!\left(\frac{R-r}{r}t\right),\quad y = (R-r)\sin t - d\sin\!\left(\frac{R-r}{r}t\right)
  • R 為定圓（大圓）半徑
  • r 為動圓（小圓）半徑
  • d 為筆尖距離動圓中心的距離

實作要點

  • 讓參數 t 逐漸增加來進行描點
  • 為確保圖形完美閉合，採樣上限需動態計算為 2π × r / gcd(R, r)
  • 直接產出笛卡爾座標 (x, y)，無需極座標轉換
  • 半徑切換：調整 R 與 r 時，圖形的角數與結構會改變，需清除圖形並重新觸發漸進生長動畫
  • 筆尖過渡：調整 d 時使用 lerp 平滑過渡（係數 0.08），產生花瓣尖銳度與交錯感的連續變形

延伸閱讀

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