斜漸近線與多項式除法 · 羊·實驗

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調整參數收合參數點開後向下滑動以調整

參數方程

以下次數與長除法皆以約去公因式後的有理函數為準。當 $de g P = de g Q + 1$ 時，多項式長除法

P (x) = Q (x) \cdot S (x) + R_{rem} (x), de g R_{rem} < de g Q

給出一次式商 $S (x)$ 與餘式。令

R (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )} = S (x) + \frac{R _{rem} ( x )}{Q ( x )}

因為

x \to \pm \infty lim \frac{R _{rem} ( x )}{Q ( x )} = 0

所以圖形在遠處趨近斜漸近線 $y = S (x)$ 。

本頁互動採用容易閱讀的參數化，例如

R (x) = m x + b + \frac{A}{x - c}

其中 $y = m x + b$ 為斜漸近線， $A$ 控制偏離強度， $x = c$ 為約簡後的分母零點（垂直漸近線）。

例：

\frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}

遠處趨近 $y = x$ ，且在約簡後 $x = 0$ 為垂直漸近線。

互動說明

斜率 m／截距 b：調整商式 $S (x) = m x + b$ ，觀察遠處骨架直線如何移動
餘式強度 A／分母零點 c：改變餘式與垂直漸近線位置，對照近處與遠處的行為差異
漸近線：開啟或關閉斜漸近線與垂直漸近線的輔助虛線
進階模式：顯示餘式 $E (x) = R (x) - S (x)$ 的衰減，以及水平與斜的次數對照

觀察重點

斜漸近線來自約簡後長除法的商 $S (x)$ ；餘式次數較低，決定圖形貼近直線的速度。
次數判斷應在約簡後進行； $de g P = de g Q + 1$ 是斜漸近線存在的典型條件。
同一有理函數可能同時有垂直漸近線（約簡後分母零點）與斜漸近線（遠處行為），兩者描述不同尺度。

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