蒲豐投針

參數方程

蒲豐投針實驗：長度 $\ell$ 的針隨機落在平行線間距 $d$ 的平面上（$\ell \le d$）。針與任一等距線相交的機率為 $2\ell /(\pi d)$，故大量投擲可用相交頻率反推 $\pi$。

相交機率：

估計：

互動說明

• 隨機投針動畫：每幀生成針中心、方位角，判定是否相交並累計
• $\pi$ 估計曲線：橫軸試驗次數，縱軸估計值收斂至 $\pi$
• 參數滑桿：$\ell$、$d$ 比例影響理論機率與收斂速度
• 線條網格：繪製等距平行線，高亮相交針

觀察重點

• 「相交」是指針碰到任一條平行線；未相交的針畫得較淡
• 當 $\ell \le d$ 時，相交機率為 $2\ell /(\pi d)$，估計值為 $2\ell N/(dn)$
• 投擲次數越多，曲線越靠近 $\pi$；改變 $\ell /d$ 會改變相交機率，也改變估計值穩定下來的速度

相關作品

• 條件機率與貝氏定理
• 二項分佈到常態分佈

延伸閱讀

• 布豐投針問題（維基百科）