二項分佈與幾何分佈 · 羊·實驗

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調整參數收合參數點開後向下滑動以調整

參數方程

二項分佈 $B (n, p)$ ： $n$ 次獨立試驗、每次成功機率 $p$ ，成功次數 $X \in {0, 1, \dots, n}$

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

E (X) = n p, Var (X) = n p (1 - p)

幾何分佈 $Geo (p)$ ：每次試驗成功機率 $p$ ， $X$ 為第一次成功前的失敗次數， $X \in {0, 1, 2, \dots}$

P (X = k) = (1 - p)^{k} p

E (X) = \frac{1 - p}{p}, Var (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}

本作品採用「第一次成功前的失敗次數」版本，因此幾何分佈的取值從 $0$ 開始。若以「第一次成功所需試驗次數」定義，取值會改為 ${1, 2, \dots}$ ，且 $E (X) = 1/ p$ 。

互動說明

分佈切換：在二項與幾何之間切換，長條圖與公式區同步更新
參數 p：拖動成功機率 $p$ ，觀察長條形狀與 $E (X)$ 、 $Var (X)$ 變化
試驗次數 n：二項模式下調整 $n$ ，觀察長條個數與峰值位置
重心與展寬：疊加 $E (X)$ 標記與 $\pm σ$ 區間，對照兩種分佈的集中程度

觀察重點

二項分佈有上界 $n$ ，長條只在 $0$ 到 $n$ ；幾何分佈尾端可延伸到很大取值，右尾較長。
$p$ 增大時，二項分佈的 $E = n p$ 線性增大；幾何分佈採「第一次成功前的失敗次數」版本時， $E = (1 - p) / p$ 則非線性減小。
兩者共用「每次試驗成功機率 $p$ 」的假設，但一個計數固定次數內的成功數，一個計數等到第一次成功前的等待次數。

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