向量場流線 · 羊·實驗

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建議先備： 向量場、微分方程

調整參數收合參數點開後向下滑動以調整

參數方程

給定向量場 $F (x, y) = (F_{x}, F_{y})$ ，流線是下列常微分方程的解：

\frac{d x}{d t} = F_{x} (x, y), \frac{d y}{d t} = F_{y} (x, y)

等價寫法：

\frac{d r}{d t} = F (r (t))

可視為方向場的積分曲線，用於理解梯度、旋度與一階微分方程的解。

本場取漩渦加擾動：

F_{x} = \frac{- y}{x ^{2} + y ^{2} + ε} + 0.25 sin (2 y + 0.8 t), F_{y} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2} + ε} + 0.25 cos (2 x + 0.8 t)

$ε$ 避免原點除零；主要的渦旋項垂直半徑，整體呈旋轉流； $0.25$ 的正弦、餘弦小項讓方向略微偏斜。

互動說明

流線數量：增減同時積分的流線條數
積分步數：步數愈多單條流線愈長、細節愈多
流動速度 ω：驅動向量場隨時間變化，流線形狀連續更新

觀察重點

流線切向對齊向量場，可視為微分方程的幾何解
漩渦中心附近流線密集環繞
同一時刻的場中，不同起點的流線互不相交（除奇點外）；本頁的場會隨 $t$ 變化

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場線（維基百科）

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